www.matekonug.fora.pl

Karola

Pytania na egzamin z analizy matematycznej.

1.Definicja następujących zbiorów liczbowych:
a) zbiór liczb naturalnych
b) zbiór liczb całkowitych
c) zbiór liczb wymiernych.
2. Dwie definicje zbioru liczb rzeczywistych.
3. Zasada Archimedesa.
4.Wartość bezwzględna i jej własności.
5. Definicja metryki. Przykład metryki.
6. Zasada Indukcji Matematycznej.
7. Nierówność Bernuliego (z dowodem).
8. Definicja ciągu liczbowego (z przykładami).
9. Definicje z przykładami obrazującymi ( jeden który spełnia i jeden który nie spełnia):
a) ciąg rosnący / malejący
b) ciąg ograniczony / ograniczony z dołu / góry.
10. Definicja granicy ciągu
11. Udowodnienie twierdzenia, że ciąg może mieć tylko jedną granicę.
12. Twierdzenie o 3 ciągach (z dowodem).
13. Twierdzenie o ciągu monotonicznym i ograniczonym (z dowodem).
14. Twierdzenie o średnich geometrycznych i arytmetycznych + wnioski.
15. Definicja granicy niewłaściwej.
16. Definicja liczby „e”.
17. Definicja podciągu (z przykładami).
18. Twierdzenie Bolzano – Weierstrassa.
19. Definicje granicy dolnej i górnej z przykładami.
20. Definicja szeregu z przykładami.
21. Definicja sumy szeregu oraz warunek konieczny zbieżności szeregu.
22. Definicja oraz własności szeregu geometrycznego.
23. Warunek Cauchy’ego zbieżności szeregu.
24. Uzasadnienie, że szereg harmoniczny jest rozbieżny.
25. Twierdzenie dotyczące działań na szeregach zbieżnych.
26. Kryteria o szeregach o wyrazach nieujemnych:
a) porównawcze
b) d’Alemberta
c) porównawcze ilorazowe
d) Cauchy’ego.
27. Omówić oraz uzasadnić fakt że kryt. Cauchy’ego jest silniejsze od kryt. D’Alemberta.
28. Kryterium kondensacyjne.
29. Omówić zbieżność szeregu harmonicznego rzędu r.
30. Kryterium Dirichleta zbieżności szeregu.
31. Kryterium Leibniza zbieżności szeregu.
32. Przekształcenie Abela (z dowodem).
33. Definicja szeregu bezwzględnie zbieżnego (z przykładami).
34. Definicja szeregu warunkowo zbieżnego (z przykładami).
35. Omówienie zbieżności szeregu anharmonicznego rzędu „r”.
36. Twierdzenie Reimanna.
37. Twierdzenie o permutowaniu wyrazów szeregu bezwzględnie zbieżnego.
38. Definicja iloczynu Cauchy’ego szeregów.
39. Twierdzenie Cauchy’ego dotyczące iloczynu szeregów ( z uzasadnieniem).
40. Twierdzenie Mertensa.
41. Twierdzenie Abela.
42. Przykład, inny niż na wykładzie, że iloczyn Cauchy’ego dwóch szeregów zbieżnych warunkowo może być szeregiem rozbieżnym.
43. Definicja punktu skupienia zbioru (przykłady).
44. Definicja granicy (właściwej lub nie) funkcji w punkcie (właściwym lub nie).
45. Granica sinx/x w zerze – wyprowadzenie.
46. Definicja granicy jednostronnej.
47. Własności granic (symbole nieoznaczone).
48. Definicja ciągłości funkcji w punkcie (z przykładami).
49. Definicja funkcji ciągłej (z przykładami).
50. Działania na funkcjach ciągłych (z uzasadnieniem).
51. Ciągłość funkcji elementarnych (z uzasadnieniem).
52. Definicja własności Darboux.
53. Twierdzenie Darboux o wartości średniej z dowodem.
54. Twierdzenie Weierstrassa o osiąganiu kresów.
55. Definicja jednostajnej ciągłości (z przykładami).
56. Twierdzenie o jednostajnej ciągłości funkcji ciągłej na przedziale domkniętym. (z dowodem).
57. Definicja warunku Lipschitza (z przykładami).

malinka991

opracowaliście już pytania?

napalonaslodka9

czy np. w poleceniu 6 z ta indukcja ma byc podany przyklad z dowodem?

Karola

w pytaniu 6 masz po prostu wiedzieć na czym ta indukcja polega. Przykład z dowodem masz w pytaniu 7. pewnie będzie trzeba napisać co to jest indukcja matematyczna i rozwiązać tą nierówność jako przykład z dokładnym opisem każdego kroku.

napalonaslodka9

opracował ktoś może badz moglby mi podac zad. 2 dwie definicje R zad 18. z weierstrassem i 25 bo mi kartki z zeszytu poucinalo?